Museo di Informatica e Storia del CalcoloPennabilli ( Pesaro ) |
|
I
FRATTALI : un
mondo autosomigliante? I frattali sono molto più che una semplice curiosità matematica: infatti essi offrono un metodo assai conciso per descrivere oggetti e formazioni. Molte strutture hanno una regolarità geometrica soggiacente, detta invarianza rispetto al cambiamento di scala o autosomiglianza. Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali…La geometria frattale sembra descrivere le forme e le configurazioni naturali in modo più succinto ed esteticamente più valido rispetto alla geometria euclidea tradizionale. (Jurgens, Peitgen, Saupe. 1990). INTRODUZIONE La
geometria frattale e la teoria del caos hanno messo in moto una vera e
propria rivoluzione nella matematica e nella scienza, portando alla luce
un nuovo modo di guardare alla realtà. Scienza e matematica hanno sempre
cercato un ordine nel caos dell'universo. E' interessante innanzitutto
spiegare il significato di un'espressione come "scienza del
caos" che può suonare inizialmente assurda. Questa scienza è
riuscita a trovare un ordine in fenomeni che fino ad ora sono stati sempre
visti come assolutamente caotici, ma tali fenomeni rimangono a tutt'oggi
impredicibili e incontrollabili. Questa rivoluzione è nata dalla scoperta
di un nuovo strumento di base per comprendere l'universo, ossia la
geometria frattale. Tra le cose
che i frattali riescono a rappresentare meglio si possono annoverare le
piante, lo scorrere dei fluidi, l'attività geologica, le orbite
planetarie, i ritmi fisiologici umani, il comportamento di gruppi animali,
gli andamenti socioeconomici, ecc. STORIA
DEI FRATTALI I
pensatori dei tempi antichi notarono che esistevano due forme
fondamentali: la linea e la curva. Le linee sono sempre state le figlie
predilette degli intellettuali, mentre le curve hanno sempre appassionato
gli artisti. La geometria così come la conosciamo fu inventata intorno al
300 a.C. da Euclide di Alessandria, e le sue concezioni hanno da allora
dominato il pensiero occidentale. Partendo da assiomi intuitivi come
"una retta possiede una lunghezza infinita", Euclide sviluppò
un gruppo coerente di regole logiche per descrivere i punti, le linee e le
forme semplici. Alcuni
secoli più tardi, all'inizio del 1600, Cartesio sezionò lo spazio fisico
proponendo la possibilità di misurare l'universo usando tre rette
perpendicolari tra loro intersecate e suddivise in intervalli
perfettamente regolari, il che consente di assegnare a qualunque oggetto
esistente una posizione precisa nello spazio. Tutto il creato poteva in
questo modo essere visto come una gigantesca pila di piccole scatole
perfettamente cubiche. Questa idea divenne la base della visione del mondo
della scienza moderna. Newton e Leibnitz presero in considerazione la
visione cartesiana del mondo per portarla alla sua conclusione logica un
secolo più tardi inventando il calcolo differenziale. L'idea fondamentale
sottesa a questo calcolo è quella di trasformare le curve in linee rette
in modo da potervi applicare i concetti lineari. Leibnitz asserì che
tutte le curve sono costituite da segmenti infinitamente piccoli (chiamati
linee tangenti o differenziali). Le linee tangenti sono il nucleo di quasi
tutte le scienze e le matematiche moderne. Al giorno d'oggi tutti, dagli
architetti agli economisti, usano le tecniche della differenziazione e il
suo inverso, ossia l'integrazione, per formulare un sistema di
interpretazione dell'universo. Tutti si basano sull'assunto che vuole ogni
curva composta da un numero infinito di segmenti. TRIANGOLO
DI SIERPINSKI Tutte
queste curve problematiche formarono una specie di "galleria di
mostri" (termine utilizzato da H. Poincarè alle soglie del ventesimo
secolo) che non potevano essere risolte con le conoscenze matematiche del
diciannovesimo secolo.
LA
LINEA COSTIERA DI KOCH Se
misuriamo la lunghezza di una linea costiera irregolare, i risultati del
calcolo dipendono dalla lunghezza del righello che si utilizza; non esiste
una risposta "esatta". La figura 3 è una "linea"
matematica. Questa forma è stata inventata dal matematico svedese H. Von
Koch nel 1904, durante la grande crisi delle scienze matematiche (come
molti suoi contemporanei, Koch era ossessionato dall'infinito).Oltre alle
coste frattali, i matematici devono a lui l'individuazione degli strumenti
per la soluzione delle matrici infinite di equazioni lineari. Per
costruire la sua costa, Koch è partito da una linea e vi ha disegnato
un'estrusione triangolare. La medesima estrusione viene poi tracciata su
ogni segmento di linea che compone la figura risultante e così via. Le
approssimazioni successive della linea costiera di Koch possiedono
lunghezze sempre crescenti ( 1- 1,333- 1,778- 2,370… …7,492). Queste
approssimazioni possono proseguire indefinitamente e la lunghezza totale
sembrerebbe dunque infinita. Collocando
tre linee costiere di Koch intorno ad un triangolo, si può creare
un'altra forma che è ancora più conosciuta, il fiocco di neve di Koch
(figura 4). DIMENSIONE
FRATTALE
La
geometria elementare ci insegna che un punto isolato, o un numero finito
di punti, costituiscono una figura di dimensione 0; che una retta
costituisce una figura di dimensione 1; che un piano, e ogni altra
superficie ordinaria, costituiscono delle figure di dimensione 2; che un
cubo ha dimensione 3. A questi fatti ben noti i matematici, a partire da
Hausdorff 1919, hanno aggiunto che si può dire, di certe figure
idealizzate, che la loro dimensione non è un intero: può essere una
frazione, per esempio1/2, 3/5, ma è spesso un numero irrazionale, come
log 4/log 3 =1,2618, o anche la soluzione di un'equazione complicata. La
dimensione frazionaria della linea costiera triangolare di Koch è pari a
circa 1,26 mentre la dimensione frazionaria della linea costiera quadrata
di Koch è di circa 1,46. Più specificamente, la dimensione frattale si
definisce come il rapporto tra il logaritmo del numero di copie e quello
della dimensione della forma originale rispetto ad ogni copia. In effetti,
l'idea di una dimensione frazionaria ha rivelato un potenziale che va ben
oltre quanto avessero immaginato i suoi creatori. Dal momento che in
natura abbondano le forme autosomiglianti come le linee costiere, esiste
ora la possibilità di caratterizzare la maggior parte del nostro ambiente
tramite questo nuovo indice. Le
montagne, le nuvole, gli alberi e i fiori hanno dimensioni comprese tra
due e tre, ed è ora possibile decifrare le caratteristiche di un oggetto
osservandone le dimensioni. La
ricerca nel campo delle curve complesse è stata bruscamente interrotta
all'inizio del ventesimo secolo da una barriera insormontabile: la
difficoltà dei calcoli. I matematici passavano mesi a svolgere calcoli
complessi per produrre un'approssimazione anche vaga di curve non lineari
di livello di dettaglio infinito. Dal 1925 al 1960, i limiti del calcolo
manuale hanno impedito di compiere progressi significativi nella geometria
della complessità e dell'infinito. Dopo
di che, sono comparsi i primi computer che divennero i fidi compagni dei
matematici. AUTOMI CELLULARI Un
automa cellulare è un universo artificiale governato da semplici leggi
naturali.Si possono scegliere la struttura di questo universo e le leggi
cui obbedisce e poi lasciare che si sviluppi in base a questo sistema.
Programmando le leggi in un computer, si può simulare un universo
automatizzato e osservare la sua evoluzione (v. figura 5 e 6).
IL
DRAGO DI HEIGHWAY La
figura 7 mostra lo sviluppo di un altro celebre automa cellulare grafico.
In questo caso, l'univereso è costituito da "cellule"
geometriche che appaiono come delle linee. Esiste una sola regola di
propagazione: ogni linea si divide in due linee derivate di lunghezza
dimezzata; la prima inizia dallo stesso punto da cui si diparte la linea
di origine e procede con un'inclinazione di 45 gradi, mentre la seconda
prosegue fino al punto finale della linea originale. Le prime due parti
della figura 7 rappresentano il modello geometrico di questa regola. La
linea orizzontale è quella di origine mentre le due linee inclinate sono
quelle derivate. LA
GEOMETRIA DELLA NATURA Verso
il 1970, queste ricerche avevano raggiunto uno sviluppo sufficiente a
gettare i presupposti per una rivoluzione nel campo della geometria. Lo
scenario includeva gli esperimenti di Koch e Peano, le nuove dimensioni di
Hausdorff, le affascinanti bizzarrie di Heighway e i modelli di
autoreplicazione definiti da Lindenmayer. Le fondamenta di tale
rivoluzione erano costituite dalla nuova tecnologia informatica che
consentiva di superare i problemi di calcolo e visualizzazione che avevano
fino a quel momento tenuto in scacco tutti gli studiosi. Dai
primi anni cinquanta in poi, il matematico Mandelbrot si era dedicato allo
studio degli imprevedibili, e allo stesso tempo pressochè ciclici, alti e
bassi del mercato dei beni di consumo. Il prezzo del cotone era oggetto
privilegiato della sua attenzione perché erano disponibili dati
affidabili riferiti a secoli di commercio. Il costo del cotone si comporta
con uno strano tipo di ricorsività: le sue variazioni hanno all'incirca
la stessa entità nell'arco dei secoli come di decenni o anche di pochi
anni. In effetti, se si ingrandisce un grafico relativo all'andamento del
prezzo del cotone nel tempo, ogni parte ha all'incirca il medesimo
andamento dell'intero. Mandelbrot chiamò questa somiglianza statistica di
una parte all'intero invarianza di scala (v. figura 8). Le registrazioni
di altri fenomeni imprevedibili, come le piene dei fiumi o l'andamento del
mercato azionario, presentano la stessa struttura intimamente ciclica. Per
aderire alla categoria frattale, una forma deve avere una dimensione
Hausdorff/Besicovitch maggiore della sua tradizionale dimensione
topologica. In sostanza, i frattali sono quelle stranezze che occupano uno
spazio che i matematici hanno abbandonato considerandole
incomprensibilmente complesse. Mandelbrot ha anche fatto notare che
"algebra" e "frattale" sono etimologicamente opposti.
Una volta esplorati i frattali "naturali" autosomiglianti,
Mandelbrot scoprì delle procedure iterattive
che servivano a produrre delle costruzioni matematiche astratte,
come i famosi insiemi di Mandelbrot e di Julia. Come gli altri frattali,
questi insiemi erano stati scoperti molto prima dell'epoca di Mandelbrot,
ma erano così complessi che sarebbe stato impossibile visualizzarli e
studiarli senza usare dei computer. L'INSIEME
DI MANDELBROT
Per
visualizzare l'insieme di Mandelbrot (v. figura 9 ), ogni punto dello
schermo del computer viene moltiplicato per se stesso ripetutamente e
aggiunto ogni volta al punto originale. E' certamente la frontiera
dell'insieme che offre il terreno di indagine più interessante. E' stato
dimostrato che l'insieme di Mandelbrot è strettamente collegato con il
comportamento di tutti i processi dinamici; come tale occupa un posto
speciale di primaria importanza in matematica, insieme ad altre figure
particolari come il cerchio e i poligoni regolari. Nonostante la semplicità
della formula che genera l'insieme di Mandelbrot, i matematici che l'hanno
scoperta l'hanno definita come l'oggetto più complesso in assoluto in
matematica (è opportuno rimarcare che non fu Mandelbrot a scoprire
l'insieme di Mandelbrot). Qualcuno potrebbe definire l'insieme di
Mandelbrot come un mostro matematico. Mandelbrot lo ha invece chiamato
"la geometria della natura". Un
ingrandimento dell'insieme di Mandelbrot mostra lo stesso tipo di
ramificazione che si riscontra in fenomeni naturali come i fulmini, i
cristalli, le crescite aeree delle piante, liquidi che si sciolgono, forme
a spirale come quelle delle conchiglie o dei girasole oppure, con
l'aggiunta di una colorazione biomorfica, forme che assomigliano ad
organismi monocellulari, ecc.ecc. GLI
INSIEMI DI JULIA
Un
insieme di Julia viene originato prendendo un determinato
punto,moltiplicando ripetutamente ogni altro punto per il primo, e
sommando ogni volta al punto originale. Pertanto, ogni punto sul piano ha
un suo insieme di Julia. Nella figura 10 si possono vedere alcuni insiemi
di Julia. L'equazione di iterazione per gli insiemi di Julia è
esattamente la stessa usata per l'insieme di Mandelbrot. Le uniche
differenze sono costituite dal significato di c e dal punto iniziale
dell'orbita. Quando si calcola un insieme di Julia, si utilizza un valore
costante c per tutti i punti sullo schermo e l'orbita inizia in
corrispondenza del punto dello schermo che viene colorato invece che
dall'origine (0,0). Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia presentano
ovviamente delle correlazioni notevoli. Infatti se si ingrandisce un punto
dell'insieme di Mandelbrot, l'immagine intorno a quel punto assomiglia
sempre più a un insieme di Julia mano a mano che ci si avvicina. Gli
insiemi di Julia dalle forme più strane, bizzarre, e quindi più
interessanti, sono quelli corrispondenti a punti prossimi alla frontiera
dell'insieme di Mandelbrot, cioè a quelli che danno origine a successioni
periodiche. Nessuno sa con certezza come accade che le spirali e le
ramificazioni degli insiemi di Mandelbrot e di Julia possano originare da
semplici equazioni non lineari, per non parlare delle ragioni per cui
seguono gli schemi archetipici della natura in modo così aderente. Questi
argomenti sono la frontiera più avanzata della ricerca matematica e
scientifica attuale. Fin dai tempi antichi, il nitido ordine della
matematica si è contrapposto al caos imprevedibile della natura. ORDINE
E CAOS
Il flusso
turbolento dell'acqua che scorre in un torrente è un esempio tipico di
quei fenomeni che tradizionalmente sono stati esclusi da una puntuale
indagine scientifica in quanto caotici, aventi cioè un comportamento
imprevedibile e non ripetibile. La scienza della complessità rappresenta
oggi una vera e propria rivoluzione scientifica paragonabile a quella,
radicale, che ha contraddistinto la più classica e nota delle rivoluzioni
scientifiche, quella copernicana. Se, infatti, il sistema astronomico
proposto da Copernico ha richiesto l'abbandono della precedente visuale
antropocentrica, che vedeva l'uomo occupare un posto centrale nell'intero
universo, la scienza della complessità impone un definitivo cambiamento
di prospettiva nei confronti di un concetto antico quanto il pensiero
umano: il caos Ordine
e caos. Nel corso della storia, e all'interno dell'universo, sono loro a
contendersi la supremazia: una piccola variazione di pressione può
trasformare il regolare flusso dell'acqua da un rubinetto in un complesso
caos di vortici; comunità animali ordinate, comprese quelle umane,
possono essere trasformate con incredibile facilità in anarchie
incontrollabili. Al polo opposto l'ordine può emergere dal caos, come
testimonia l'evoluzione della vita dal caos formale dell'universo, ultimo
gradino il genere umano. Il passaggio dall'ordine al caos, e il successivo
emergere dell'ordine dall'interno di quel caos, viene rivelato in modo
evidente dallo studio di semplici circuiti
retroattivi. L'aspetto essenziale del meccanismo di retroazione è
questo: esiste una certa quantità x che varia (nel tempo o in relazione a
qualche altra variabile) in modo tale che il valore di x in
qualsiasi istante dipende con andamento regolare dal suo valore
nell'istante precedente ( figura 11). Procedimenti di questo tipo permeano
tutte le scienze esatte e la maggior parte, se non tutte, delle scienze
sperimentali. Molta della matematica moderna è stata sviluppata per
trattare tali procedure; ad esempio, il caso in cui l'incremento tra la
vecchia x e la nuova x è infinitesimale portò allo sviluppo di varie
tecniche per la risoluzione delle equazioni differenziali. Si
deve a Cartesio l'intuizione fondamentale secondo cui il legame tra
grandezze fisiche- che possono assumere, a seconda delle circostanze,
valori diversi, e per questo sono chiamate variabili - è esprimibile con
relazioni matematiche di eguaglianza: le equazioni algebriche (così
definite perché proprio le regole dell'algebra stabiliscono come
effettuare somme e prodotti fra tali variabili). Un metodo efficace per
rappresentare variazioni piccolissime delle variabili è il calcolo
infinitesimale elaborato, contemporaneamente ma in modo indipendente, da
Newton e Leibnitz. Esso dà luogo a un nuovo tipo di equazioni, dette
differenziali, le quali pongono in relazione variabili e derivate, gli
elementi che esprimono l'entità della variazione. La somma di un numero
infinitamente grande di quantità infinitesime è consentita poi
dall'integrazione (cioè l'operazione che consente di calcolare un
integrale). Le equazioni differenziali costituite da termini che
contengono ciascuno solamente una variabile (o una sua derivata) vengono
dette lineari, mentre non lineari si definiscono quelle equazioni
differenziali dove sono presenti anche termini che contengono prodotti di
variabili (o delle loro derivate). Le prime sono risolvibili applicando i
metodi del calcolo infinitesimale e corrispondono a modelli matematici dei
sistemi fisici che introducono semplificazioni e idealizzazioni. Per
descrivere i fenomeni caotici nella loro concretezza sono invece
indispensabili le seconde, che in generale possono essere risolte
solamente assegnando via via valori numerici diversi alle variabili e alle
loro derivate; un metodo di calcolo che è affrontabile solo disponendo
dei più potenti strumenti elettronici di elaborazione. LA FINE DEL SOGNO DETERMINISTICO Attraverso
il teorema di Poincaré diviene evidente che i sistemi dinamici, nella
loro grande maggioranza, non sono stabili, e hanno dunque un certo grado
intrinseco di caoticità. Anche considerando le sole interazioni
gravitazionali, dobbiamo constatare che persino l'evoluzione, in un
intervallo di tempo piuttosto lungo, di un sistema che appare così
regolare e prevedibile come quello solare non può essere conosciuta e
descritta analiticamente con assoluta precisione. La figura 12 riproduce
una simulazione al computer del percorso, chiaramente caotico, tracciato
da un "pianeta di prova" che orbita nel campo gravitazionale
prodotto dall'azione combinata di sue "soli" fissi S' e S"
di uguale massa; t1 e t2 rappresentano due istanti di tempo successivi.
CONCLUSIONE Secondo
Mandelbrot, nello studio delle curve piane appare una gerarchia di
complessità crescenti: -
Al primo livello si collocano le curve regolari come la retta e la
circonferenza, che localmente si confonde con la retta. A tale livello
appartengono pure le curve classiche elementari. -
Al secondo livello possiamo porre le curve frattali classiche,
nelle quali la complicazione non cambia quando ci avviciniamo: possono
diventare più o meno complicate, ma c'è una "invarianza" della
forma rispetto alla distanza. Abbiamo allora una dimensione frattale che
è compresa fra 1 e 2, e tale dimensione rimane la stessa quando ci
avviciniamo alla curva. -
Al terzo livello troviamo l'insieme di Mandelbrot: quando ci
avviciniamo sempre di più riconosciamo in alcuni particolari ciò che si
osserva globalmente. Però abbiamo un costante aumento della complessità,
e possiamo dire che il caos aumenta, ma esso ha una struttura ordinata,
perché descrivibile matematicamente. -
Infine, al quarto livello tutto è davvero caotico e se ci
avviciniamo non si scorge più nei dettagli ciò che si vedeva
globalmente, ma si osservano delle cose nuove e impreviste. Possiamo
quindi concludere che il livello più semplice era quello studiato dalla
geometria elementare. Il secondo livello è di grande importanza nelle
applicazioni perché si riscontra facilmente in natura. Il terzo livello
è quello dell'insieme di Mandelbrot, ed il quarto corrisponde al caos più
completo ed incontrollabile. Con
questa classificazione si passa da ciò che è semplice e regolare a
quello che risulta estremamente caotico, ed emergono allora le categorie
di fondo del pensiero scientifico, cioè il rapporto locale-globale e
ordine-caos. Mandelbrot arriva allora alla inattesa conclusione che questi
oggetti che venivano considerati "mostruosi" sono in effetti ciò
che osserviamo in natura. Queste forme di ordine entro il caos possono
essere formalizzate con i metodi della geometria frattale. -
Con la "relatività di Einstein" (1905) viene dimostrato
che non è possibile ridurre l'elettromagnetismo alla meccanica, ed appare
allora un profondo legame tra lo spazio e il tempo. -
Con la "fisica quantistica" (1927) viene introdotto il
"principio di indeterminazione" di Heisenberg, e il doppio
aspetto corpuscolare e ondulatorio in microfisica. Le leggi fisiche
diventano allora di tipo probabilistico. -
Con la "teoria unitaria del mondo fisico e biologico" di
Fantappié (1942), vengono introdotti i fenomeni "sintropici".
Si ha quindi una dipendenza dei fenomeni dal passato (cause) e dal futuro
(fini). Di conseguenza nell'universo abbiamo una doppia tendenza verso
l'ordine e verso il disordine. -
Con il "caos deterministico", scoperto da Lorenz (1963),
viene dimostrato come sistemi deterministici anche molto semplici possono
avere un comportamento "caotico", ed allora ogni previsione
sull'evoluzione del sistema è impossibile. Se studiamo un modello
semplificato dei fenomeni metereologici, con tre gradi di libertà, esso
si comporta in modo caotico, cioè imprevedibile. Utilizzando il computer
si trova allora il nuovo "attrattore caotico" di Lorenz, che è
un frattale. Infatti in un sistema caotico le perturbazioni microscopiche
vengono enormemente amplificate ed interferiscono con il comportamento
microscopico del sistema. Accade allora che due orbite vicine divergono
sempre di più rendendo impossibile ogni previsione sul comportamento del
sistema. La
nuova "scienza del caos" che così si ottiene si propone di
studiare i sistemi "complessi" ed apparentemente disordinati. Si
trova allora che molti fenomeni della natura stanno a metà strada tra
determinismo e indeterminismo e tra ordine e disordine. Possiamo
quindi concludere che con la scoperta del caos e degli attrattori di tipo
frattale, si ha una grave sconfitta del "riduzionismo" in base
al quale le proprietà globali sono univocamente determinate da quelle
locali. In effetti, le interazioni dei componenti di un sistema ad una
data scala possono produrre un comportamento globale completamente
diverso, e questo porta a una vera e propria rivoluzione nella fisica,
paragonabile a quella della relatività e dei quanti. SITI
INTERNET
PER
SAPERNE DI PIU': http://www.brint.com/Systems.htm http://spanky.triumf.ca/www/welcome1.html http://www.ba.infn.it/%7ezito/plaw.html http://fractal.mta.ca/sci.fractals-faq http://www.cygnus-software.com/theory/theory.htm http://www.primonet.it/rubriche/vertigo/filehtml/frattali.htm http://soddu2.dst.polimi.it/tesi/014/frattali.htm http://www.lifesmith.com/home.html BIBLIOGRAFIA
( in italiano) -
Caos. La nascita di una nuova scienza
di J. Gleick. Rizzoli -
Complessità.Uomini e idee al confine tra ordine e caos di M.M.
Waldrop. Instar libri -
Gli oggetti frattali di B.B. Mandelbrot. Einaudi -
La geometria della natura di B.B. Mandelbrot. Montedison-Mi -
La bellezza dei frattali di Peitgen e Richter. Bollati Boringhieri -
L'estetica del caos di J. Briggs. Red edizioni -
Caos e frattali di R.L: Devaney. Addison-Wesley Italia -
Spazio,iperspazi,frattali di G. Arcidiacono. Di Renzo Editore -
Frattali di D.Oliver e D. Hoviss. Jackson libri -
Frattali: realizzazioni con il computer di F.Rossati e G.Gamarino.
Levrotto e Bella-To -
Frattali Flib Asteroidi di S. Bettelli e R. Biolchini. Zanichelli -
Dove va la matematica (cap. 4) di K.Devlin. Bollati Boringhieri Il Museo di Informatica e Storia del Calcolo di Pennabilli ha 280 programmi scientifici sui frattali ; cdrom e videocassette sui frattali e la teoria del caos e una collezione di oltre 12.000 frattali già calcolati e memorizzati. APPENDICE
1 : Punti singolari e curve patologiche APPENDICE
2 : Triangolo di Sierpinski APPENDICE
3 : La curva di Koch APPENDICE
4 : Frattali e autosimilarità APPENDICE
5 : Invarianza di scala e leggi di potenza APPENDICE
6 : L’algoritmo dell’insieme di Julia APPENDICE
7 : L’algoritmo dell’insieme di Mandelbrot
a cura del prof. Baldoni Renzo , direttore del Museo. |