----------------------------------

LE  CURVE  FAMOSE

-----------------------------------

 

PREMESSA

La mostra Le curve famose si inserisce in un fecondo periodo di attività culturali organizzate per “festeggiare” i dieci anni di vita del Museo di Informatica e Storia del Calcolo di Pennabilli.

Questa è la ventesima mostra (*) realizzata dal Museo con l’obiettivo di contribuire a diffondere la cultura scientifica fra i suoi visitatori. Le mostre ancora esposte all’interno del Museo e dettagliatamente presentate sul sito internet del Museo www.museoinformatica.it sono:

- il Pi greco: storia e curiosità di un numero affascinante

- i Frattali: un mondo autosomigliante?

- la Matematica nell’Encyclopédie di Diderot e d’Alembert in 100 tavole.

In programma per luglio 2001, dopo oltre due anni di lavoro, un convegno scientifico ed una mostra su “la teoria del tutto: un’unica legge alla base della natura?”. Seguiranno, nel biennio successivo, due mostre di matematica: “i poliedri di Luca Pacioli” e “i caleidocicli di Escher” e due di informatica: “la macchina universale di Turing” e “le radici europee del computer”.

Una serie di iniziative che rappresentano uno sforzo culturale, organizzativo, finanziario notevole per il Museo che desidera caratterizzarsi sempre più come importante centro di divulgazione scientifica e vuole collocarsi ai primi posti per ciò che riguarda la “memoria” e lo studio della scienza e della tecnologia informatica e della storia del calcolo.

La mostra Le curve famose è un invito a riscoprire la storia della matematica in modo divertente e attraente; a ripercorrere, attraverso le curve piane, l’affascinante itinerario del pensiero umano che va dalle origini della geometria fino alle complesse e recenti forme dei frattali.

Di ogni curva abbiamo riportato l’equazione, cioè la notazione matematica che consente di rappresentarla graficamente, anche per invogliare i curiosi all’uso del computer: tutte le figure sono state infatti ricavate con semplici programmi su personal computer.

  

(*) Mostre temporanee realizzate dal Museo:

la storia del calcolo, i grandi matematici, un treno di…matematici, le tappe e gli uomini della matematica, il teorema di Pitagora, numeri interessanti, i regoli di Genaille

la storia dell’informatica, le applicazioni dell’informatica, esploriamo internet, la realtà virtuale, il pendolo di Foucault, teneo te Luna, il software didattico, l’informatica nella scuola, professione informatico (in collaborazione con il CNRS francese)

 

(*)Mostre ancora esposte  all’interno del Museo:

-il Pi greco: storia e curiosità di un numero affascinante

-i Frattali: un mondo autosomigliante?

-La Matematica nell’Encyclopédie di Diderot e d’Alembert in 100 tavole

-le curve famose

 

(*)Mostre in programma (le date sono ancora da definire; verranno segnalate sul sito internet):

-mostra e convegno scientifico su “la teoria del tutto:un’unica legge alla base della natura?”

-i poliedri di Luca Pacioli

-i caleidocicli di Escher

-la macchina universale di Turing

-le radici europee del computer

 

ORIGINE DELLA GEOMETRIA

 Secondo Erodoto la geometria è nata in Egitto e poi è passata in Grecia. Gli agrimensori egizi tracciarono le due linee più importanti della geometria: la retta e il cerchio.

Ma è Euclide (330-275 a.C.), nei suoi celebri Elementi, ad esporre la geometria elementare del piano mediante il metodo assiomatico-deduttivo. Movendo dagli enti geometrici fondamentali del piano, e cioè i punti e le rette, definiti per astrazione, a partire dal mondo sensibile, vengono poi enunciati gli “assiomi”, cioè nozioni comuni, del tutto evidenti. Nella trattazione di Euclide vengono evidenziati cinque postulati; partendo dagli assiomi e dai postulati, si possono poi dimostrare i vari teoremi, con i metodi della logica. Gli antichi greci, per risolvere i problemi di geometria, usavano soltanto una riga, senza alcuna graduazione, ed un compasso. Erano quindi tracciabili segmenti di retta e circonferenze: curve elementari perfette, da cui tutte le altre curve derivavano mediante l’uso multiplo e combinato di riga e compasso. Ma alcuni problemi rimasero ostinatamente fuori dal dominio della retta e del cerchio; fra questi, i tre problemi classici: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, la trisezione dell’angolo.

La quadratura del cerchio è la ricerca di un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio. Il problema stimolò la curiosità e l’interesse di molti matematici, ma soltanto nel 1882 Lindenmann (1852-1939) dimostrò, utilizzando strumenti algebrici, l’impossibilità di quadrare un cerchio. Il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio è un numero trascendente. Il primo a studiare a fondo la questione delle quadrature fu Ippocrate di Chio (460-380 a.C. circa); egli conosceva i concetti di congruenza, di similitudine, il teorema di Pitagora e vari tipi di costruzioni geometriche. In particolare Ippocrate studiò le lunule, e riuscì ad effettuare la quadratura di molti tipi di tali figure: la ricerca della quadratura anche del cerchio lo portò alla costruzione di tutte le lunule possibili ed immaginabili. Ippia, intorno al 420 a.C., scoprì una curva, la quadratrice, o anche trisettrice, per mezzo della quale era possibile quadrare un cerchio (non però con riga e compasso), e dividere un angolo in tre parti uguali. Dinostrato, intorno al 350 a.C., fece uso della scoperta di Ippia per ottenere la quadratura del cerchio.

Il secondo dei grandi problemi fu la duplicazione del cubo. Se a è il lato del cubo da duplicare, dobbiamo trovare un cubo di lato x  tale che  per cui e, molti secoli dopo, fu dimostrato che è impossibile duplicare il cubo con riga e compasso.

Il terzo problema è la trisezione. Fu solo nel 1837 che P.L. Wantzel dimostrò l’impossibilità di trisecare un angolo qualsiasi con riga e compasso. Tra l’altro, la dimostrazione di Wantzel utilizza procedimenti algebrici, che consentono anche di dimostrare l’impossibilità di duplicare un cubo. I tre grandi problemi dell’antichità, così come sono generalmente definiti, avevano dunque due peculiarità: non era possibile risolverli, né era possibile accorgersi di tale impossibilità. Ciò infatti fu consentito soltanto nel XIX secolo, quando furono disponibili adeguati strumenti algebrici.

La lunula (fig 1) è una figura delimitata da due archi di cerchio di raggio diverso e Ippocrate riuscì non solo a dimostrare la quadratura della lunula, ma anche a realizzare la prima quadratura rigorosa di un’area curvilinea. Con il suo teorema si dimostra infatti facilmente che la lunula ABCD costruita su un semicerchio circoscritto ad un triangolo isoscele, è equivalente al quadrato costruito sul raggio AO: ecco quindi ottenuta la quadratura della lunula.

 
La duplicazione del cubo: mentre il problema è senza soluzione utilizzando riga e compasso, e cioè circonferenze e segmenti rettilinei, esso trova soluzione utilizzando altre curve, o altri strumenti. Platone, ad esempio, trovò una soluzione con il metodo delle aste graduate, fatte scorrere e ruotare (neusis). Menecmo trovò un altro metodo per duplicare il cubo, utilizzando due parabole (fig 2).

La trisettrice di Ippia (fig 3) serve per dividere un angolo in tre parti; come abbiamo accennato, non è costruibile con riga e compasso. La curva si ottiene facendo traslare in modo uniforme il segmento AB fino a farlo coincidere con DC; e nello stesso tempo facendo ruotare uniformemente il segmento DA fino a farlo coincidere con DC. Il luogo dei punti di intersezione dei due segmenti durante il loro movimento è la trisettrice.

 

Il mulino di Euclide (fig 4), tratto dalla proposizione 47  del primo libro degli Elementi, conosciuto anche come sedia della sposa o coda del pavone, si presta ad una semplice dimostrazione del teorema di Pitagora.

  La spirale di Archimede (fig 5) è una curva piana, tracciata da un punto che si sposta uniformemente  lungo una semiretta, mentre questa a sua volta ruota uniformemente attorno al suo estremo. Lo studio della spirale fu probabilmente motivato dallo studio dei tre famosi problemi classici, ed in effetti essa si presta facilmente alla costruzioni di soluzioni per la trisezione dell’angolo e per la quadratura del cerchio.

 
La circonferenza è una figura ricchissima di possibilità geometriche, come generatrice di innumerevoli altre curve: le stelle, le ipocicloidi e le epicicloidi e tante altre. In effetti moltissime curve sono figlie o parenti strette del cerchio; partendo da esso ci si può sbizzarrire nel costruire tante figure, trovando in esse interesse geometrico, scoprendo le loro proprietà nascoste e calcolandone le dimensioni: è ciò che fecero gli antichi greci quando cominciarono lo studio della geometria. Oppure se ne possono ammirare l’armonia delle proporzioni, e la grazia della rappresentazione grafica. O anche, utilizzando un computer, si possono costruire figure avendo come limite soltanto la fantasia e la capacità del programmatore.

Le coniche. Se disegniamo su un lucido una circonferenza e la proiettiamo da un punto su uno schermo, variando l’inclinazione di esso, la circonferenza può essere trasformata in una circonferenza più grande o più piccola, oppure in una ellisse, in una iperbole o in una parabola. Tali figure prendono il nome di coniche perché si possono ottenere sezionando con un piano un cono a due falde, come è illustrato in fig.6.

 

 Più precisamente, le circonferenze si ottengono se il piano è perpendicolare all’asse del cono, le ellissi se esso è obliquo all’asse, le iperboli quando il piano è parallelo all’asse del cono e le parabole se il piano è parallelo a una generatrice del cono. Dobbiamo ad Apollonio di Perga ( III-II sec. A.C.) lo studio più ampio che ci sia giunto dall’antichità, riguardante le sezioni coniche. Apollonio dimostra tra l’altro una serie di proprietà che condurranno a importanti applicazioni in molti campi della scienza e della tecnica.

L’ellisse ha in particolare due punti, che si chiamano fuochi, situati sul diametro maggiore, tali che la somma delle distanze dai fuochi è la stessa per qualunque punto sulla curva. Questo fatto può essere sfruttato per tracciare l’ellisse, in maniera alquanto approssimata ma sufficiente, ad esempio, per costruire delle aiuole a forma di ellisse (non a caso si chiama ellisse del giardiniere). Una seconda proprietà dei fuochi consiste nel fatto che la perpendicolare all’ellisse in un suo punto qualsiasi divide per metà l’angolo formato dai segmenti che uniscono questo punto con i due fuochi. Di conseguenza, un raggio di luce che parte da uno dei fuochi, e si riflette sull’ellisse, passa per l’altro fuoco. Lo stesso vale per le onde sonore.

Nel cerchio i fuochi cadono tutti e due nel centro; via via che l’ellisse si allunga, essi si allontanano sempre di più. La parabola non ha più che un solo fuoco; l’altro, per così dire, è andato all’infinito. I raggi che provengono da questo fuoco all’infinito sono delle rette parallele; riflettendosi sulla parabola vanno a finire nel fuoco rimasto. Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli si dovrà usare uno specchio a forma di parabola.

Quello che succede con l’iperbole è un po’ più complicato. Se ci mettiamo all’esterno, un raggio diretto verso un fuoco viene riflesso in direzione dell’altro fuoco. All’interno, un raggio che proviene da un fuoco, dopo una riflessione sull’iperbole sembra provenire dall’altro. L’interesse per le sezioni coniche non si limita però a queste proprietà, per quanto importanti. Esse infatti entrano nella soluzione di problemi scientifici che hanno determinato quella che è stata chiamata la “rivoluzione scientifica”. Nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze, G.Galilei (1564-1642) dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Un altro problema, di cui le sezioni coniche hanno costituito la chiave per giungere a una soluzione, è quello delle orbite dei pianeti.

 

LA NASCITA DELLA GEOMETRIA ANALITICA

  Sia la riga e il compasso, sia le sezioni coniche, fanno parte del patrimonio scientifico della Grecia classica. Si trovano, è vero, non poche altre curve nelle opere dei matematici greci: spirali, quadratrici, concoidi, cissoidi, ma in ogni caso si tratta di curve particolari, provenienti più dall’immaginazione di questo o di quel geometra che da una dinamica interna della matematica. Tranne forse le sezioni coniche, ogni curva greca ha proprietà caratteristiche valide per essa sola e nessun altra. Per uscire da questo mondo chiuso occorre un metodo che si applichi a tutte le curve senza essere peculiare a nessuna. Un passo decisivo consiste nell’introduzione delle coordinate cartesiane, che prendono il loro nome dal filosofo e matematico René Descartes (Cartesio, 1596- 1650). Ogni punto P del piano può essere individuato per mezzo di due numeri (x,y), le distanze da due rette perpendicolari. Queste ultime si chiamano assi cartesiani, e i numeri x e y le coordinate cartesiane del punto P.  Delle due, x si dice l’ascissa e y l’ordinata; l’ascissa si prende positiva a destra e negativa a sinistra, l’ordinata positiva in alto e negativa in basso (fig 7).

La possibilità di studiare metodi e procedimenti generali rende la nuova impostazione cartesiana più agile e più potente rispetto alle tecniche costruttive della geometria classica. Le curve possono essere costruite per punti, risolvendo delle equazioni. Viceversa, le equazioni possono essere risolte per mezzo dell’intersezione di due curve. Se il grado dell’equazione è maggiore di 2, le rette e i cerchi non bastano più, e si deve ricorrere a curve come le sezioni coniche o anche altre meno familiari. Via via che il grado dell’equazione diventa più elevato, saranno necessarie curve sempre più complesse. 

 

IL CALCOLO INFINITESIMALE

  La possibilità di considerare curve “generiche” pone in maniera differente molti problemi classici, in particolare quello delle quadrature e delle tangenti. Se ci si limita alla riga e al compasso, ben pochi sono i risultati positivi: Ippocrate riesce a quadrare le lunule, il primo esempio di quadratura esatta di una figura curvilinea; Archimede scopre la quadratura della parabola. I greci avevano determinato la tangente al cerchio o alle sezioni coniche, come pure ad altre curve particolari.

Nella nuova formulazione cartesiana, i due problemi prendono un aspetto diverso: non più quadrare questa o quella figura, o trovare la tangente a questa o quella curva, ma individuare un metodo uniforme, che permetta di tracciare la tangente a una curva arbitraria, o dare un procedimento per quadrare una figura delimitata da una curva qualsiasi. Il primo di questi problemi, risolto in parte dallo stesso Descartes, condurrà alla scoperta del calcolo differenziale per opera di Newton e Leibniz (1646-1716). Il secondo sarà l’oggetto del calcolo integrale. Più difficile è il cosiddetto problema inverso delle tangenti, o in termini moderni l’integrazione di un’equazione differenziale.

Dal punto di vista geometrico, il problema consiste nel trovare una curva conoscendo una relazione tra i suoi punti e le tangenti relative. Analiticamente, esso si traduce in un’equazione che lega le variabili x ed y con i loro differenziali. Le equazioni differenziali portano alla ribalta una nuova classe di curve,le curve trascendenti. Si tratta di curve  che non si possono esprimere mediante un’equazione algebrica, ma richiedono per essere descritte analiticamente l’introduzione di nuove funzioni, tra cui le funzioni trigonometriche, i logaritmi, gli esponenziali (fig 8).

	.

Gli sviluppi del calcolo infinitesimale nel diciottesimo secolo permettono di compiere notevoli progressi nello studio delle proprietà delle curve. Ad esempio: tra tutti i cerchi che passano per P ce n’è uno che si adatta meglio degli altri all’andamento della curva nelle vicinanze di P. Questo cerchio prende il nome di cerchio oscuratore. Possiamo così misurare la curvatura di una curva. Al variare del punto P sulla curva, i centri di curvatura (cerchi dei centri oscuratori) descriveranno una seconda curva, che si chiama evoluta della prima. Questa curva è anche l’inviluppo delle rette perpendicolari alla curva data. Reciprocamente, la prima curva è l’evolvente della seconda (fig 9).

La relazione evoluta-evolvente può essere utile anche per risolvere problemi tecnici.

   

 

LE CURVE  PATOLOGICHE

  La geometria classica ci dice che un corpo ha tre dimensioni, una superficie due e una curva una. Una curva si dice “continua” quando può essere tracciata con una penna senza mai staccarla dal foglio. Essa può avere dei punti “singolari” nei quali si ha una discontinuità nella tangente, oppure un salto che può essere finito o infinito (fig 10).

Nel primo caso la curva, nel punto semplice P(x) ammette due tangenti, nel secondo caso essa ha in quel punto una brusca variazione, ed infine nel terzo caso siamo in presenza di un asintoto verticale. Nella figura 11 sono riportate la “curva a gradini” ed una curva che oscilla sempre di più quando ci avviciniamo all’origine. Una vera e propria rivoluzione nella geometria si è avuta con le ricerche di G.Cantor (1845-1918) e di G.Peano (1858-1932) i quali hanno costruito tutta una serie di mostri geometrici (curve patologiche) che mettevano a repentaglio le stesse fondamenta della geometria di Euclide, cioè il concetto di “dimensione”. Nel 1890 Peano costruiva la sua celebre curva che riempie il quadrato. Nella figura 12 sono riportati i primi tre stadi di costruzione della curva: si divida il quadrato di partenza in un numero sempre più grande di quadrati, prendiamo il centro di ognuno di essi e lo congiungiamo col centro dei due quadrati adiacenti. Al limite, la curva passerà per ogni punto del quadrato e quindi, invece di una dimensione, ne ha due! Si aprì allora il dibattito sul concetto di “dimensione”, che ha condotto agli “spazi frattali” di B. Mandelbrot, aventi dimensione non intera. Si giunge in tal modo alla sconcertante conclusione che le “curve regolari” (per esempio la circonferenza e l’ellissi) sono delle pure astrazioni geometriche, mentre le curve ritenute patologiche sono quelle che si riscontrano effettivamente in natura. Per esempio, la linea di una costa ci appare sempre più frastagliata, man mano che ci avviciniamo: non è quindi possibile definire la lunghezza della costa in modo univoco, essa infatti tende a diventare infinita.

   

GLI SPAZI FRATTALI

  -L’insieme di Cantor: dato un segmento, lo si divida in tre parti uguali e poi si tolga la parte intermedia (fig 13). Procedendo all’infinito con lo stesso metodo, si ottiene l’insieme di Cantor. E’ facile calcolare la sua dimensione: al primo passo si ha N=3, e si prendono N=2 segmenti. Dopo m passi della costruzione abbiamo: N⁰ = 3^m ;  N = 2^m . Si ha quindi la dimensione: d = log 2^m/log 3^m = log 2/ log 3 = 0,6309 . L’insieme di Cantor ha quindi dimensione minore di 1.

-La curva di von Koch: si parte da un segmento, lo si divida in tre parti, e si costruisce un sistema di quattro segmenti, nel modo indicato in figura 14. Si vede subito che dopo m passi della costruzione si ha : N⁰ = 3^m ; N = 4^m . Si ha quindi la dimensione d = log 4^m/log 3^m = log 4 / log 3 = 1,2698 che è maggiore di 1.

Particolarmente interessante è poi la curva frattale di von Koch, detta pure fiocco di neve. Essa si ottiene nel modo indicato nella figura 15, e se indichiamo con a la lunghezza del lato del triangolo equilatero iniziale, il perimetro della figura, nei successivi passi della costruzione della curva, è dato da: p⁰ = 3 a ; p’ = 4 a ; p’’ = (16/3) a  e dopo m passi  si ha: p_m = 3 a (4/3)^m

Passando al limite, quando m tende all’infinito, il perimetro del fiocco di neve tende a diventare infinito, mentre la sua area rimane finita. E’ interessante poi osservare che la curva frattale di von Koch non possiede tangenti, perché essa cambia bruscamente direzione in ogni suo punto, e quindi risulta infinitamente irregolare.

-Gli insiemi di Julia e di Mandelbrot (fig 16 e 17). I frattali sono un linguaggio della matematica, perché i loro elementi fondamentali non possono essere osservati direttamente. Essi sono quindi essenzialmente diversi dalle semplici figure della geometria piana euclidea, come i poligoni e le circonferenze. Infatti i frattali non si esprimono mediante forme primarie, bensì mediante “algoritmi”, cioè insiemi di procedure geometriche o algebriche, che vengono poi tradotte in immagini con i computer. Le curve algebriche piane possono essere “lineari”, come la retta, che viene descritta da un’equazione di primo grado; ci sono poi le curve “non lineari” descritte da equazioni di grado superiore (coniche, cubiche…). Analogamente i frattali possono essere lineari e non lineari.

Nei frattali lineari gli algoritmi ci dicono come ingrandire, rimpicciolire o spostare la figura iniziale, che rimane sempre autosimile. Molto più ricchi di forme geometriche sono i frattali non lineari, tra i quali hanno particolare importanza quelli quadratici. Essi sono stati studiati a partire dal 1918 dal matematico francese G. Julia, e più recentemente da B. Mandelbrot.

Secondo Mandelbrot nello studio delle curve piane appare una gerarchia di complessità crescenti:

-al primo livello si collocano le curve regolari come la retta e la circonferenza, che localmente si confonde con la retta. A tale livello appartengono pure le curve classiche elementari.

-al secondo livello possiamo porre le curve frattali classiche, nelle quali la complicazione non cambia quando ci avviciniamo: possono diventare più o meno complicate, ma c’è una invarianza della forma rispetto alla distanza. Abbiamo allora una dimensione frattale che è compresa tra 1 e 2, e tale dimensione rimane la stessa quando ci avviciniamo alla curva.

- al terzo livello troviamo l’insieme di Mandelbrot: quando ci avviciniamo  sempre di più riconosciamo in alcuni particolari ciò che si osserva globalmente. Però abbiamo un costante aumento della complessità, e possiamo dire che il caos aumenta, ma esso ha una struttura ordinata, perché descrivibile matematicamente.

Infine, al quarto livello tutto è davvero caotico e se ci avviciniamo non si scorge più nei dettagli ciò che si vedeva globalmente, ma si osservano delle cose nuove e impreviste. Possiamo quindi concludere che il livello più semplice era quello studiato dalla geometria elementare. Il secondo livello è di grande importanza nelle applicazioni perché si riscontra facilmente in natura.Il terzo livello è quello dell’insieme di Mandelbrot, ed il quarto corrisponde al caos più completo ed incontrollabile.

Con questa classificazione si passa da ciò che è semplice e regolare a quello che risulta estremamente caotico, ed emergono allora le categorie di fondo del pensiero scientifico, cioè il rapporto locale-globale e ordine-caos. Mandelbrot arriva alla inattesa conclusione che questi oggetti che venivano considerati “mostruosi” sono in effetti ciò che osserviamo in natura. Queste forme di ordine entro il caos possono essere formalizzate con i metodi della geometria frattale.

   

Per una trattazione più esauriente sui frattali rimandiamo alla mostra I frattali: un mondo autosomigliante? ancora in esposizione presso il Museo di Informatica e Storia del Calcolo con la relazione, ad esclusione degli approfondimenti, scaricabile dal sito internet www.museoinformatica.it

 

TAVOLE  (delle curve con equazioni)

TAV 1: asteroide, bicorno, cardioide, ovale cartesiana

TAV 2: ovale di Cassini, curva di Cayley, cerchio, cissoide di Diocle

TAV 3: concoide, concoide di Sluze, cicloide, curva del diavolo

TAV 4: doppio folium, curva di Durer, curva a otto, ellisse

TAV 5: epicicloide, epitrocoide, spirale equiangolare, spirale di Fermat

TAV 6: folium, folium di Descartes, nefroide di Freeth, curva di frequenza

TAV 7: iperbole, spirale iperbolica, ipocicloide, ipotrocoide

TAV 8: involuta di un cerchio, curva di Eudosso, curva a K, curva di Lamé

TAV 9: lemniscata di Bernoulli, curva di Pascal, curve di Lissajous, lituo

TAV10:parabola di Neile, nefroide, parabole divergenti di Newton, parabola

TAV11:perla di Sluze, curva a pera, curva plateau, curva pursuit

TAV12:quadratrix di Ippia, curve rodonee, strofoide destra, serpentina

TAV13:spirali sinusoidali, spirale di Archimede, spiric sections, linea retta

TAV14:curva di Talbot, tricuspide, tridente di Newton, trifoglio

TAV15:trisettrice di Maclaurin, cubica di Tschirnhaus, curva di Watt, versiera(strega di Agnesi)

 

BIBLIOGRAFIA

- Curve piane speciali algebriche e trascendenti, teoria e storia di G.Loria-MI-Hoepli,1930,2 voll

- Le curve celebri di L. Cresci, MI, Aries, 1998

- A book of curves di E.H. Lockwood, Cambridge University Press, 1961

-Gli oggetti frattali, forma, caso e dimensione di B.B. Mandelbrot, TO, Einaudi, 1987

 

SITI INTERNET

www.best.com/-xah/specialplanecurves_dir/

www.history.mcs.st-and.ac.uk/-history/curves/curves.html

 

a cura del prof. Renzo Baldoni, direttore del Museo